1. Kolokvij

---

I. Elektrostatičko polje i naboji

1. Coulombov zakon

Izjava i matematički izraz:
Coulombov zakon opisuje silu $\vec{F}$ koju djeluju dva točkasta naboja $q_1$ i $q_2$ smještena na udaljenosti $r$ jedan od drugoga. Zakon glasi:

$$\vec{F} = k\,\frac{q_1\,q_2}{r^2}\,\hat{r}$$

gdje je:

• $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8,99 \times 10^9\; \mathrm{N\,m^2/C^2}$ – Coulombova konstanta,
• $\varepsilon_0$ – permitivnost vakuuma ($\approx 8,85 \times 10^{-12}\; \mathrm{C^2/(N\,m^2)}$),
• $\hat{r}$ – jedinični vektor koji usmjerava silu od jednog naboja prema drugom.

Mjerne jedinice:

• Naboji $q_1$ i $q_2$ izražavaju se u kulonima (C).
• Udaljenost $r$ mjeri se u metrima (m).
• Sila $\vec{F}$ izražena je u njutnima (N).

Napomena:
Sila je privlačna ako su naboji suprotnog predznaka i odbijaju se ako su naboji istog predznaka.

---

2. Gaussov zakon

Opći izraz:
Gaussov zakon povezuje električni tok kroz zatvorenu površinu sa ukupnim nabojem unutar te površine. Matematicki glasi:

$$\oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$

gdje je:

• $\vec{E}$ – električno polje (V/m),
• $d\vec{S}$ – element zatvorene površine (usmjeren prema van, m²),
• $Q_{\text{enc}}$ – ukupni naboj unutar površine (C).

Primjene na različite konfiguracije:

• Beskonačna linija naboja:
  Za ravnomjerno raspoređen linearni naboj s gustoćom $\lambda$ (C/m) te simetrijski odabranu cilindričnu površinu (valjkastu površinu s radijusom $r$), Gaussov zakon daje:

  $$E\,(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad \Longrightarrow \quad E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$

• Kugla:
  Za sferično simetričnu raspodjelu naboja (npr. točkasti naboj ili jednolično nabijena kugla), električno polje izvan kugle na udaljenosti $r$ (s $r \geq R$) je:

  $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$$

  Unutar jednolično nabijene kugle (za $r < R$) polje je:

  $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^3}\,r$$

• Cilindar:
  Za ravnomjerno nabijeni cilindar s gustoćom volumena $\rho$ (C/m³) i radijusom $R$, primjenom Gaussovog zakona koriste se odgovarajuće valjčaste površine. Izraz za $E$ unutar cilindra (za $r < R$) i izvan njega (za $r \ge R$) dobiva se analogno postupku kao za sfernu simetriju.

---

3. Električno polje različitih konfiguracija naboja

Električno polje točkaste kugle (točkasti naboj):

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q|}{r^2}$$

gdje je $r$ udaljenost od naboja.

Električno polje beskonačne ravnine (ravno nabijena površina):
Za beskonačnu ravan s gustoćom naboja $\sigma$ (C/m²) električno polje je:

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

(Imajte na umu da u slučaju dvije paralelne beskonačne ravnine s jednakim, ali suprotnim nabojima, polje između njih iznosi $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$.)

Električno polje linijski nabijene vodiče:
Za beskonačni linijski naboj s gustoćom $\lambda$ (C/m):

$$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$

gdje je $r$ udaljenost od linije naboja.

---

4. Električna influencija

Definicija i fizičko objašnjenje:
Električna influencija, poznata i kao indukcija, odnosi se na fenomen u kojem vanjsko električno polje uzrokuje redistribuciju naboja unutar vodiča.

• Kod vodiča:
  Slobodni elektroni u vodiču se preuređuju pod utjecajem vanjskog polja. Na strani bližoj izvoru polja nakupljaju se negativni naboji, dok se s druge strane pojavljuje višak pozitivnog naboja.
• Praktične posljedice:
  Električna indukcija omogućava rad uređaja poput kondenzatora i elektrostatskih uređaja, a također je osnova za rad transformatora (iako oni rade na izmjeničnoj struji).

---

5. Električna polarizacija

Pojam:
Električna polarizacija opisuje ponašanje dielektrika (izolatora) kada se postavi u vanjsko električno polje.

• Polarni dielektrici:
  Molekule koje imaju stalni dipolni moment (npr. vodena otopina) orijentiraju se u smjeru vanjskog polja, što rezultira smanjenjem efektivnog polja unutar materijala.
• Nepolarni dielektrici:
  U ovim materijalima, vanjsko polje inducira dipolni moment, iako u odsutnosti polja molekule nemaju stalni dipolni moment.

Kvantitativni opis:
Polarizacija $\vec{P}$ definira se kao dipolni moment po jedinici volumena i povezana je s vanjskim poljem preko:

$$\vec{P} = \varepsilon_0 \chi_e \vec{E}$$

gdje je:

• $\chi_e$ – električni susceptibilitet dielektrika.

---

II. Električni potencijal i rad u elektrostatičkom polju

6. Električni potencijal različitih konfiguracija naboja

Osnovni pojam:
Električni potencijal $V$ u nekoj točki prostora definira se kao rad po jedinici naboja potreban za premještanje pozitivnog probnog naboja iz beskonačnosti u tu točku bez promjene kinetičke energije.

Za točkasti naboj:

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r}$$

Za ravnu površinu:
U slučaju beskonačne ravnine s gustoćom naboja $\sigma$, potencijal se računa integracijom električnog polja. Iako se u praksi potencijal beskonačne ravnine definira relativno (s obzirom na referentnu točku), često se koristi koncept potencijalne razlike.

Za linijski naboj:
Potencijal zbog beskonačnog linijskog naboja s gustoćom $\lambda$ mjeri se u odnosu na referentnu udaljenost $r_0$:

$$V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{r}{r_0}$$

---

7. Razlika potencijala između dvije točke u polju

Definicija:
Razlika potencijala (napon) između dvije točke A i B određuje se kao:

$$\Delta V = V_B - V_A = -\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{l}$$

gdje integracija ide duž puta kojim se prelazi iz točke A u točku B.

Napomena:

• Ovisno o konfiguraciji polja i putanji, integracija može biti jednostavna (npr. u uniformom polju) ili zahtijevati korištenje odgovarajućih koordinatnih sustava.

---

8. Rad pri premještanju naboja

Definicija i formula:
Rad $W$ koji je potrebno uložiti za premještanje naboja $q$ iz točke A u točku B u elektrostatičkom polju je:

$$W = q\,\Delta V = q\,(V_B - V_A)$$

Ili se može računati i putem integrala:

$$W = -q\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{l}$$

Ovdje je važno napomenuti da se rad računa pozitivno kada se energija troši za pomicanje naboja protiv polja.

---

III. Kapacitet i kondenzatori

9. Kapacitet pločastog kondenzatora

Definicija:
Kapacitet $C$ kondenzatora definira se kao omjer naboja $Q$ koji se akumulira na kondenzatoru prema naponu $V$ između njegovih ploča:

$$C = \frac{Q}{V}$$

Pločasti kondenzator:
Za idealni pločasti kondenzator, kapacitet je:

$$C = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\frac{S}{d}$$

gdje je:

• $S$ – površina svake ploče (m²),
• $d$ – udaljenost između ploča (m),
• $\varepsilon_r$ – relativna permitivnost dielektrika smještenog između ploča.

Utjecaj dielektrika:
Uvođenjem dielektrika (s $\varepsilon_r > 1$) povećava se kapacitet jer se efektivno smanjuje električno polje unutar kondenzatora, što smanjuje napon za isti naboj.

---

10. Serijski i paralelni spoj kondenzatora

Serijski spoj:
U serijskom spoju kondenzatora, ukupni kapacitet $C_{\text{ser}}$ određuje se kao:

$$\frac{1}{C_{\text{ser}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}$$

Paralelni spoj:
U paralelnom spoju kondenzatora, ukupni kapacitet $C_{\text{par}}$ je zbroj pojedinačnih kapaciteta:

$$C_{\text{par}} = C_1 + C_2 + \dots + C_n$$

---

11. Energija pohranjena u kondenzatoru

Formula:
Energija $U$ pohranjena u kondenzatoru izražava se kao:

$$U = \frac{1}{2}\,C\,V^2 = \frac{1}{2}\,\frac{Q^2}{C}$$

Ova energija se mijenja s promjenom geometrije kondenzatora (npr. promjena udaljenosti $d$ ili površine $S$) te svojstava dielektrika.

---

IV. Posebne konfiguracije električnih polja

12. Raspodjela naboja na vodičima

Opći koncept:
Na vodičima u elektrostatičkoj ravnoteži naboj se raspoređuje tako da je unutarnje električno polje $\vec{E}$ jednako nula. Višak naboja se, zbog repulzivnih sila, nakuplja na površini vodiča.

Utjecaj oblika:

• Na zakrivljenim dijelovima ili oštrim rubovima vodiča dolazi do veće koncentracije naboja, što rezultira jačim lokalnim električnim poljem.
• Raspodjela naboja ovisi o geometriji: na sfernim vodičima raspodjela je homogena, dok na nepravilno oblikovanim vodičima postoji varijabilnost.

---

13. Električno polje i potencijal u šupljim i punim kuglama

Šuplje (vodičko) kugle:

• Električno polje:
  Unutar šuplje, nabijene vodičke kugle, električno polje je $E = 0$ (prema statičkom ekvilibriju i Gaussovom zakonu).
• Električni potencijal:
  Potencijal je konstantan unutar kugle i jednak je vrijednosti na površini: $$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R}$$ gdje je $R$ radijus kugle.

Pune (ravnomjerno nabijene) kugle:

• Električno polje unutar kugle (za $r < R$):
  Prema Gaussovu zakonu: $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R^3}\,r$$
• Električni potencijal unutar kugle:
  Dobiva se integracijom polja: $$V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{3Q}{2R} - \frac{Qr^2}{2R^3}\right)$$
• Vanjsko polje:
  Za $r \geq R$ ponaša se kao kod točkastog naboja: $$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}, \qquad V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}$$

---

14. Električno polje u pravilnim geometrijskim sustavima

Primjeri konfiguracija:

• N-terokut s točkastim nabojima:
  Za pravilno raspoređene točkaste naboje (npr. u jednakostraničnom trokutu ili četverokutu) simetrija omogućava određivanje rezultantnog električnog polja i potencijala u središtu ili na drugim ključnim točkama sustava.
  • U središtu jednakostraničnog trokuta s jednakim nabojima, vektorski zbroj polja može biti nula, dok se potencijali (kao skalari) zbrajaju.
• Šesterokut s pozitivnim i negativnim nabojima:
  Pri pravilnoj raspodjeli pozitivnih i negativnih naboja (npr. alternativno) ukupno električno polje u središtu može biti smanjeno ili poništeno zbog simetrije, dok potencijal ovisi o apsolutnim vrijednostima pojedinačnih doprinosa.

Opći pristup:

• Koriste se superpozicija i principi simetrije kako bi se odredilo rezultantno električno polje $\vec{E}$ i električni potencijal $V$ u točkama od interesa.
• Kod složenih konfiguracija često se primjenjuju analitički ili numerički metodi (npr. metoda Coulombovih integrala) za precizno određivanje veličina.